punti di accumulazione esercizi svolti pdf
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Sia uno spazio metrico e un sottoinsieme non vuoto di. Per poter calcolare una funzione per valori “vicini quanto si vuole” a un punto, bisogna che questi valori ci siano nell’insieme di definizione della funzioneMissing: pdf I punti di accumulazione DEFINIZIONE Punto di accumulazione Si dice che il numero reale xè un punto di accumulazione di A, sottoinsie-me di R, se ogni intorno * Esempi di singolarità non isolate: punti di accumulazione di poli, la funzione logaritmo; * Teorema di Liouville; * Applicazione del teorema di Liouville: Teorema fondamentale non sono di accumulazione per A; infatti, se c µe uno di tali punti, allora, come abbiamo giµa visto, c µe esterno ad A, cioµe esistono intorni circolari di c che non contengono alcun punto di A. Neanche i puntiesono di accumulazione per A; infatti, gli intorni circolari I(;r) con r •non contengono elementi di A diversi Esercizi di Matematica. Data la funzione f (x)=x+1 il punto x=0 è un punto di accumulazione rispetto all'insiemte I= (-1,0). Se non lo hai fatto, ti consigliamo di leggere l'articolo punti di accumulazione EsempioDato il sottoinsieme A, verificare che xè un punto di accumulazione. Un punto di è di accumulazione per se e solo se ogni intorno di contiene infiniti punti di. Se alcuni passaggi non ti sono chiari e hai bisogno A: l’unico punto di accumulazione è lo 0; B: non ha punti di accumulazione C: l’unico punto di accumulazione è il 4; D: l’unico punto di accumulazione è il numero E: i Punti di accumulazione. non sono di accumulazione per A; infatti, se c µe uno di tali punti, allora, come abbiamo giµa visto, c µe esterno ad A, cioµe esistono intorni circolari di c che non contengono Nell'intervallo chiuso [a,b] con apunti di accumulazione per [a,b] tutti i punti dell'intervallo. Dimostrazione La consegna è molto semplice: determinare, se esistono, i punti di accumulazione degli insiemi che seguono. Teorema. Esercizio 3 EsempioL’insieme dei numeri razionali ha come punti di accumulazionetutti i numeri reali! Consideriamo per semplicità degli intorni sferici. Esercizio(i) IN contiene in niti punti isolati e nessuno di accumulazione. Prova a risolvere i seguenti esercizi sui punti di accumulazione. Esercizi di AnalisiEsercizi sugli insiemi reali. Nell'intervallo aperto (a,b) con apunti di accumulazione per Missing: pdf ESERCIZI MATEMATICA PaginaÈ un punto attorno al quale si addensano infiniti punti della funzione PUNTI DI ACCUMULAZIONE NON SONO PUNTI DI ACCUMULAZIONE PUNTI DI ACCUMULAZIONE DI UN INSIEME NUMERICO Dato un insieme, il punto (appartenente o non appartenente ad E) si dice “PUNTO DI ACCUMULAZIONE” per E EsercizioTrovare i punti di accumulazione e i punti isolati dei seguenti insiemi: (A):= fx =n; nINg (B):= fx =;;;;;;;n;n; nINg (C):= fx = n Esercizi sui punti di accumulazione. (ii) Gli insiemi (A); (C) dell’esercizocontengono in niti elementi ed un solo EsercizioDare un esempio di: (i) un insieme con infiniti elementi e senza punti di accumulazione; (ii) un insieme con infiniti elementi e un solo punto di accumulazione; (iii) un insieme che abbia un solo punto di accumulazione, tutti gli altri punti siano isolati e sia illimitato. L’insieme di tutti i punti di accumulazione è detto insieme derivato e sarà indicato con. Ecco una lista di esercizi svolti sui punti di accumulazione e sui punti isolati. Ad esempio sia I (0,ε) un intorno sferico diVerifichiamo se viene rispettata la definizione di punto di accumulazione, cioè se tutti i suoi punti appartengono ad A. Deve risultare che 1/n<ε Esempio. Svolgimento. TEOREMA Se è un punto di accumulazione dell’insieme E, allora ogni intorno di contiene INFINITI punti di E. In virtù di questo teorema, molti testi definiscono direttamente “punto di accumulazione di un insieme E” Punto di accumulazione per se tale che ; Punto isolato in A se tale che. Preso un intorno (xδ,x+δ) ogni successione estratta x n dall'insieme I che converge a xgenera una successione f (x n) che converge a l=Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a 1 La disuguaglianza di destra e sempre veri cata perch e nn" se n >": Come negli altri esercizi si veri ca facilmente che tutti gli altri punti sono isolati.
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